河床変動計算

掃流砂を考慮したモデル

基本式

一様砂礫あるいは平均粒径を用いた掃流砂による河床変動の1 次元解析法の基礎式は,次の4 式である。

流れの運動方程式と連続式;

(5.1)

(5.2)

流砂の連続式と流砂量式;

(5.3)

(5.4)

ただし,B:河幅,h:平均水深,V:平均流速 x:流下方向の座標軸 z:平均河床高,t:時間 u*:平均摩擦速度,ie:エネルギ-勾配 qB:掃流砂量 λ :河床砂の空隙率 α :エネルギ-補正係数

上記の4 式のうち,(5.1)式および(5.2)式,すなわち不等流の式の計算法については,第1,第2 章で詳しく述べられているので,ここでは説明を省略する。また,(5.4)式の流砂量式についてもすでに前章で代表的な例をあげて解説した。したがって,残る流砂の連続式(5.3)式について述べることにする。

流砂の連続式

図-5.1 のように河川流路の上・下流に任意の2 断面を考えると,その上流側断面①の流砂量が下流側断面②より大きければこの区間には堆積が起き,逆に小さければ洗堀が起こる。このように,河川流路における河床高の変化は,各断面流砂量の不均衡によって生ずるものであり,掃流砂による河床高z の時間変化は,(5.3)式の流砂の連続式により求めることができる。

流砂の連続式(5.3)式を誘導してみよう。今,図-5.1中の断面①,②の掃流砂量をおのおのQB1,QB2(容積表 示,m3/s)とすると,Δt 秒間に①断面を通過する流砂量 はQB1・Δt (m3)であり,同様に②断面ではQB2・Δt (m3) である。 したがって,この区間で河床に堆積と洗堀のいずれが 起こるかは,河床変動高をΔz(m)として以下のように 表現できる。ただし,z 軸は上向きを正する。 QB1・Δt>QB2・Δt のとき,堆積する (Δz>0) QB1・Δt=QB2・Δt のとき,堆積も洗堀もしない (Δz>0) QB1・Δt=QB2・Δt のとき,洗堀する (Δz>0) いい換えると, QB1-QB2>0 のとき,Δz>0

QB1-QB2=0 のとき,Δz=0 QB1-QB2<0 のとき,Δz<0 ここで,河床に堆積が起こる場合について考えてみよ う。この区間に堆積する量は,(QB1-QB2)・Δt であるが, これを河床高に換算するときには,図-5.2 のように空隙 を考慮する必要がある。今,空隙率をλ で表わすことに すると,堆積後の容積をVx としてVx は次式のように 表わされる。 ( ) Vx λ Q Q t B B ・⊿ 1 2 1 1 − = − すなわち, t λ Vx QB QB ・⊿ − − = 1 1 2 (5.5) 一方,Vx を河床変動高Δz で表すと,区間距離をΔx として, Vx=B・Δx・Δz (5.6) であるから,(5.5)式と(5.6)式より, λ Q QB B − − 1 1 2 ・Δt=B・Δx・Δz すなわち, t ( λ)B z − + 1 1 ⊿ ⊿ ・ x Q QB B ⊿ 2 1 − =0 (5.7) (5.7)式は距離に関して後進差分で表現しており,こ れを微分方程式で表わすと, t ( λ)B z ≤ − + ∂ ∂ 1 1 ・= 0 ∂ ∂ x QB (5.8) または, ( ) ( ) 0 1 1 = ∂ ∂ − + ∂ ∂ x q B t λ B z B ・ ・ となり,上式は(5.3)式に等しい。

なお,上式中のλ は,砂の場合には0.4 前後の値である

河床変動の数値計算法

河床変動の数値計算法としては,最近は基礎式を直接差分化して逐次計算を行う,いわゆる差分法が一般的であり,一様砂礫河床で掃流砂を対象とした場合の計算手順は,図-5.3 のフロ-に示されるとおりである。

①現河床形について,与えられた流量無条件の本に不等流計算を行い,掃流力の縦断分布を求める。 ②掃流砂量式を用いて流砂量の縦断分布を求める。 ③流砂の連続式により河床変動量を求める。

以上のプロセスを繰返し行うことにより,河床高の時間変化を予測することができる。 ここで,実際に(5.3)式を差分化して河床変動高を計算する場合の要点について述べる。 差分式による解法では,収束性,安定性,精度などが考慮されなければならない。特に安定性が満足されないと,解は発散して計算不能となる。 差分法により安定な数値解を得るためには,以下に述べるように差分スキ-ムの与え方,差分幅Δt,Δx のとり方および境界条件の設定に注意を要する。 有限な伝播速度を有する現象では,実際の擾乱の伝播方向,すなわち特性曲線の方向と差分スキ-ムによって規定される計算上の変動の伝播方向を一致させる必要がある。河床高の変動について考えると,河床の微小擾乱の伝播方向は,常流(Fr<1)の場合には流下方向に対して正,射流(Fr>1)の場合には負となる。ここで,フル-ド数F V gh r = である。

したがって,差分スキ-ムのとり方は,常流の場合は時間に関して前進差分,距離に関して後進差分であり,射流の場合は時間,距離に関していずれも前進差分としなければならない。

以上のことを念頭に入れて,実際に河床変動計算を行う場合の(5.3)式の差分式は,流れの条件により次の2 式を用いることになる。

河床変動計算のフロ-

①常流(Fr<1)の場合 ( ) ( ) ( ) ( )・ ⊿ ⊿ x λ B x z x t t z x t − = + − 1 , , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − x q x x t B x x q x t B x B B ⊿ ⊿ , ・⊿ , ・ (5.9) ②射流(Fr>1)の場合 ( ) ( ) ( ) ( )・ ⊿ ⊿ t λ B x z x t t z x t − = + − 1 , , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + x q x t B x q x x t B x x B B ⊿ , ・⊿ , ・⊿ (5.10) 図-5.4 に流れが常流の場合,すなわち距離に関して後進差分の場合の河床変動計算の差分のスキ-ムを示す。

次に,差分幅Δt,Δx のとり方について述べる。一般に,収束性,安定性,精度の性質は,偏微分方程式では時間の刻み幅Δt と距離の刻み幅Δx との比Δt/Δx によって決まることが多く,とくに有限な伝播速度を有する現象では,Courant-Friedrichs-Lewy(C.F.L.)の条件で決定される。したがって,差分幅Δt,Δx は次の条件を満足するように想定しなければならない。

−1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ z dt dx x t < ⊿ ⊿ ここで, z dt dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛

は河床変動の伝播速度であり,(5.12)式で求められる。

( )( ) h q dt λ F dx B z r ∂ ∂ − − − = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ・ 1 1 2 1 (5.12)

実際に計算する場合には,使用する流砂量式を(5.12)式に代入し, q h B ∂ / ∂ を求めることができれば,これにより伝播速度が求まり,(5.11)式より差分幅Δt,Δx が決定される。 境界条件の与え方は,河床変動計算の差分スキ-ムにより異なる。例えば,流れが常流の場合の河床変動計算の差分スキ-ムは,図-5.4 に示したとおりであり,使用する差分式は(5.9)式である。(5.9)式によりΔz を求めるには上流端を境界条件としなければならない。上流端境界条件の与え方には,次のような場合がある。

(ⅰ) 上流端の河床を固定点とする。すなわち,(5.7)式の(QB1-QB2)/Δx=0 とする。この条件は,実際河 川ではQB1=QB2,すなわち河床は動的に安定である場合に相当する。

(ⅱ) 上流端の流砂量QB1=0 と考える。この条件は,実際河川では,上流端にダムが築造されて土砂の補給が ない場合などに相当する。

(ⅲ) 上流端の流砂量QB1 をなんらかの方法で与える。 例えば,実測値をもとに流量Q と流砂量QB の関係式を求めて与える。

一般の河川では,砂防施設を必要とするような上流域や床止工のような局所的に射流となる部分を除いて,ほとんどの場合流れは常流と考えられるので,ここで示した計算法により,一次元的な河床変動について予測が可能である。

例題

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浮遊砂を考慮したモデル

主に均一粒径砂を対象とした浮遊砂量式と浮遊砂による1 次元単断面の河床変動の問題に重点をおい て述べることにする。 なお,浮遊砂に関する諸問題は,複雑,かつ広範多岐にわたるため,上記の研究成果は多くの仮定や近似的取 扱いに基づいており,未解明の問題も多く残されているのが現状である。

浮遊砂の基準点濃度と砂粒の浮上量式

浮遊砂濃度の連続式と河床変動の連続式

非定常性を考慮した浮遊砂濃度の連続式

水深方向の浮遊砂濃度分布

浮遊砂による河床変動計算法

例題

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混合粒径河床変動モデル

基礎式

 単に1 次元河床変動モデルと言っても,用いる流砂量式や粒径区分の扱い方によって千差万別のものが考えられる.ここでは,以下の条件におけるモデルについて述べる.

• 計算断面は広幅矩形断面とする.即ち,径深R ~_水深h,断面積A=Bh(B は水路幅) • 計算流量は時間的に一定とし,流れは常流で水位の境界条件は下流端で与えられる.河床抵抗はManning則に従う. • 流砂は掃流砂および浮遊砂を対象とし,上流端で動的平衡状態の流砂量を与える. • 河床材料および流砂は混合粒径とし,河床高および河床交換層中の粒度組成の縦断分布の時間変化を求める.

流れの運動方程式(不等流の式)

∂ ∂ + ∂ ∂       + = H x x Q gA ie α 2 2 2 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………. (1)

ただし,x は流下方向座標軸,Hは水位,Qは流量,g は重力加速度,Aは断面積,α はエネルギー補正係数である.ie は エネルギー勾配であり,マニング則を用いると次式で表される. i u n R e = 2 2 4 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. (2) (2)式を(1)式に代入し,α ~_ 1.0 として,広幅矩形断面であることを考慮すると,次式が得られる. ∂ ∂ + ∂ ∂   + = H x Q g x B h Q n B h 2 2 2 2 2 2 2 10 3 1 0 ………………………………………………………………………………………………………………… (3)

なお,断面を矩形近似しているので,H はη を平均河床高として次式で表される.

H =η + h ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (4)

流砂量式

 掃流砂量は粒径別の芦田・道上1)の式を用いる.

q sgd p u u Bi i i i ci i ci 3 = 17 ′3 2 1− 1       −       γ γ γ * * * * * …………………………………………………………………………………………………………… (5)

ただし,di は砂粒子の粒径,下付添え字i は混合粒径における粒径di の粒子に対する物理量であることを示す(以下に現われる記号全てに共通).さらに,qBi は粒径別単位幅掃流砂量,s は砂の水中比重,pi は粒径di の粒子が河床(交換層)に存在する割合,γ*i は粒径別無次元掃流力(河床せん断力)(=u*2/sgdi),γ'*i は粒径別無次元有効掃流力(有効河床せん断力)(=u' *2/sgdi),u' * は有効摩擦速度,γ*ci は粒径別無次元限界掃流力(=u*ci2/sgdi),u*ci は粒径別限界摩擦速度であり以下のEgiazaroff・浅田2)の式で求める.

u u d d d d ci cm i m i m * * log log 2 2 2 23 21 2 = +             ………………………………………………………………………………………………………………………. (6)

ただし,dm は河床材料の平均粒径(=Σidi pi),u*cm はdm に対する限界摩擦速度であり,岩垣の式3)で求める.  浮遊砂の河床からの浮上量はItakura and Kishi4)の式で求める.

q pK gd u w sui i s s i i fi = − ′ −       α ρ ρ ρ * * Ω ……………………………………………………………………………………………………………….. (7)

Ωi i i a a i i B d d B = ′ (− ) (− ) ′ + ′ − ∞ ′ ∞ ∫ ∫ γ ξ π ξ ξ π ξ ξ γ η * * * * exp exp 1 1 1 2 2 0 ……………………………………………………………………………………………………….. (8)

ただし,qsui は粒径別浮遊砂の単位面積当たりの河床からの浮上量,wfi は粒径別浮遊砂の沈降速度でありRubey5)の式で求める.また,a' = B*i /γ'*i−1/η0,η0 = 0.5.α*= 0.14.K = 0.008,ρs は浮遊粒子の密度,ρ は水の密度である.B*i は揚力算定の際の速度に摩擦速度u*を適用するための換算係数であり,均一粒径の場合はB*i = 0.143 の一定値が用いられる. ここでは遮蔽効果を考慮して沖・黒木6)による次式で与える.

B B *i i * = ξ 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. (9) ξ γ γ i ci ci = * * 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. (10)

ただし,B*0= 0.143.γ*ci = u*ci2 / sgdi,γ*ci0 = u*ci02 / sgdi である. u*ci0 は粒径di の均一粒径の場合の限界摩擦速度で岩垣の式3)より求める.

浮遊砂の連続式

 粒径別浮遊砂濃度の連続式は次式で表わされる. ∂ ∂ (< > ) + ∂( < >) ∂ = − t c h B Q c x q wc i i sui fi bi 1 …………………………………………………………………………………………………… (11)

ここで,t は時間,cbi は河床付近の粒径別浮遊砂濃度,< ci >は水深平均の粒径別浮遊砂濃度である.上式中の< ci >とcbi の関係は水深方向の濃度分布式より求められるが,ここでは以下に示す指数型の分布式を採用するものとする.

c c i bi = exp(−βξ ) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… (12)

ただし,β = wfih / ε,ξ = z / h,z は河床からの距離,ε は水深平均の拡散係数(=κu*h/6),κ はカルマン定数(= 0.4),ciは河床からz の距離における粒径di の粒子の濃度である.< ci >は式(12)を河床から水面まで積分することにより次式となる.

< c >= ∫ = ( − (− )) h c d c i i bi 1 1 0 1 ξ β exp β ………………………………………………………………………………………………………………. (13)

式(13)が式(11)中の< ci >とcbi の関係である.なお,(11)式の右辺第1 項は通常,非定常性が著しく顕著な場合以外は無視できる場合が多いので7),添付のプログラムでは省略して計算するようになっている

粒径別流砂の連続式と全流砂の連続式

 混合粒径における粒径別流砂の連続式は交換層における粒径別の流砂の交換,河床の変動および河床変動に伴って新たに交換層に加わる粒径分布を考慮し次式で表わされる8).

δ η λ ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ∂( ) ∂ + −       = p t p t B q B x i q w c i Bi sui fi bi * 1 1 1 0 …………………………………………………………………………………… (14)

ここで,

p p t p p t i i i i * * ; ; = ∂ ∂≥ = ∂ ∂< η η 0 0 0

ただし,δ は交換層(河床材料と流砂の交換が行われる層)の厚さ,λ は河床材料の空隙率である,河床低下(∂η/∂t < 0)の場合には交換層内の粒子と原河床(交換層のより下の河床)の粒子が交換されるため原河床の粒度分布を考慮する必要がある.そこで,式(14)中のpi*に関しては,河床上昇の場合には流砂中における粒度構成pi を,河床低下の場合には原河床の粒度構成pi0 を与えるものとした.

 全流砂の連続式は全ての粒径の流砂の交換を考慮し次式で表される.

∂ ∂ + − ∂ ( ) ∂ + ( − )       = Σ Σ η t λ B q B x q wc i Bi sui fi bi i 1 1 1 0 ………………………………………………………………………………………… (15)

ただし,Σi は粒径別の量を合計した量であることを示す.

有効掃流力

 式(5)および式(7)中のγ'*i およびu' *は無次元有効せん断力および有効摩擦速度であり本来は全せん断力から河床波等の形状抵抗分を除いた成分とするべきものであるが,ここでは河床波等が無い場合を想定して全抵抗に等しく与える.即ち,

γ ′ =γ *i *i …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. (16)

u′ = u * *……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. (17)

差分式と安定条件

 図-1 に示すように時間,空間方向の計算格子を用いることとし,以下の説明においては添え字j およびn はそれぞれ空間,時間方向の計算格子番号とする.と仮定する.

水位と河床せん断力の計算

 水位の計算は式(3)を差分化した次式を用いる.

Q gB h H x Q n B h Q gB h H x Q n B h j j 2 2 2 2 2 2 103 2 2 2 2 2 2 103 1 2 2 2 2 + −       = + +       − Δ Δ …………………………………………………………………. (18)

ただし,Δx は計算断面間の距離である.  流砂量の計算に用いる摩擦速度や河床せん断力は水位計算の結果によって得られる水深h を用いて,式(2)でR ~_ h としてie を求め,これから次式で計算する.

u* ghie = …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. (19)

γ * * i i u sgd = 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (20)

粒径別浮遊砂濃度の計算

 前述のように,ここでは式(11)の左辺第1 項を省略して扱うので,粒径別浮遊砂濃度は次の差分式で計算する.

Q xB c c q wc j ij n ij n Δ sui fi bi j ( − ) = ( − ) −1 ………………………………………………………………………………………………………………….. (21)

河床材料の粒度変化および河床変動の計算

 式(14)および式(15)を差分化して計算を行うことになるが,黒木ら9)によれば,流れが常流の場合安定な計算を進めるためには時間に対して前進差分,距離に対して後進差分を取る必要があるため,それぞれ,以下のように差分化される.

δ η η λ p p t P t Bq Bq B q wc ij n ij n ij j n j n Bi j n Bi j n j sui fi bi j n + + − − = − − + − ( ) −( ) − ( − )       1 1 1 1 Δ Δ 1 Δ * ……………………………………………….. (22)

η η λ j n j n i Bi j n i Bi j n j sui fi bi j n t i B q B q B q wc + − − = − ( ) −( ) − ( − )       Σ Σ Σ 1 1 1 Δ 1 Δ ……………………………………………………………….. (23)

ただし,Δt は時間刻み幅である.

安定条件

 黒木ら9)によれば河床変動および粒度変化の計算においては時間および空間方向の計算刻みは以下の条件を満たさなければならない. Δ Δ t x dx dt dx dt pi ≤            − − min , η 1 1 …………………………………………………………………………………………………………………….. (24)

 ここで, dx dt   η および dx dt pi  は それぞれ河床変動および粒度変化の伝播速度であり,次式で与えられる.

dx dt B Fr q B x h x Q c x h x Bi i i i    = − ( − )( − ) ∂( )∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂       Σ Σ η λ 1 1 2 1 ………………………………………………………………………… (25)

dx dt B q B x p x Q c x h x pi Bi i i    = − ( − ) ∂( )∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂       1 δ 1 λ

…………………………………………………………………………………………….. (26)

初期条件および境界条件

初期条件

 計算の初期条件として河床高η および初期河床材料(交換層)の粒度分布pi の初期値を与える.初期河床材料の粒度分布は粒径の分割区分毎,計算断面毎に与える必要があるが,添付のプログラムでは簡単のために10%,50% および90%粒径を与えて分布については対数正規分布となるように内挿するようにし,すべての断面で一様になるようにしてある.

境界条件

 計算流量Q,下流端水位H,Manning の粗度計数n,河幅B,計算対象とする粒径区分di などを与える.  上流端の浮遊砂の濃度は,動的平衡状態として式(11)の左辺をゼロとおいて式(13)を考慮し,次式で与える.

< c >= ( − (− )) q w i sui fiβ 1 exp β …………………………………………………………………………………………………………………………… (27)

例題

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TYS-RBAモデル

 
水理計算/2.河床変動/4.河床変動計算.txt · 最終更新: 2011/10/20 14:12 by tys
 
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